Родился Б. Шапошников 1 марта 1907 года в г. Ярославле. Отец его работал продавцом, мать занималась домашним хозяйством. Окончив школу, Борисе 1925-го по 1930 год учился в Иваново-Вознесенском политехническом институте.
После вуза был направлен в бюро РЭТ при Всесоюзном теплотехническом институте, где работал инженером. В 1932 году бюро было реорганизовано во Всесоюзный трест Оргэнерго при ВСНХ СССР. До 1938 года Б. Шапошников занимал последовательно должности заведующего рационализаторской группой Ивановского отделения Оргэнерго, заместителя главного инженера, главного инженера. Затем перешел на педагогическую работу в Иваново-Ярославское отделение «Трансэ-нергокадры». К этому времени Борис Иванович уже имел немалый опыт преподавательской деятельности. С 1932 года по совместительству он работал ассистентом на кафедре теплотехники в химико-технологическом институте.
В 1939 году по приглашению Шапошников переводится в Ивановский энергетический институт на должность старшего преподавателя. В 1940 году ВАК утверждает Шапошникова в ученом звании доцента по кафедре «Тепловые станции и тепловые двигатели». С 1941 года он заведует этой кафедрой. В феврале 1943 года Борис Иванович успешно защищает кандидатскую диссертацию на тему «Резонансный наддув стационарных двигателей внутреннего сгорания».
С 1944 года он - заместитель директора вуза по учебной и научной работе и одновременно заведующий кафедрой ТЭС. В 1947 году Шапошникова по личной просьбе освобождают от должности заместителя директора, и он углубляется в научно-исследовательскую работу. Среди научных трудов Б. Шапошникова особо значимые - в области паротурбинных установок. В 1953 году он редактировал книгу «Энергетика», в которой обобщен опыт работы Ивановской энергетической системы. Ученый постоянно выступал с докладами на научных конференциях. По поручению областных организаций прорабатывал такие важнейшие для области проблемы, как газоснабжение города Иванова на базе местных топливных ресурсов (торф), электрификация сельского хозяйства области за счет строительства тепловых электростанций, работающих на торфе.
С 1955-го по 1960 год Б. Шапошников руководил энергетическим институтом. Этот период в жизни вуза был отмечен открытием двух факультетов, вводом в эксплуатацию 49-квартирного дома, завершением строительства стадиона, организацией вечернего факультета.
Борис Иванович вел большую общественную работу. Партиец с 1945 года, он на протяжении многих лет избирался членом и заместителем секретаря партийного бюро института, с 1936-го по 1940 год был депутатом районного Совета, с 1946 года - членом правления областного отдела энергетиков, заместителем председателя правления. В 1950 году Шапошников окончил вечерний университет марксизма-ленинизма.
Научно-педагогическая деятельность Бориса Ивановича Шапошникова отмечена Похвальным листом и нагрудным знаком Наркомата электростанций. Он награжден медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.», медалью «За трудовую доблесть».
В 1970 году Борис Иванович уволился из ИЭИ по состоянию здоровья и ушел на пенсию.